Método de Gauss: aprenda a calcular área

Publicado por Adenilson Giovanini em 2021-07-212021-07-21

O método de Gauss baseia-se no cálculo da dupla área da poligonal. Vamos entender exatamente o que é este método e como que a área é calculada.

Funcionamento do método de Gauss

funcionamento do método de Gauss

O método de Gauss é método utilizado pelo AutoCAD para o cálculo da área. O mesmo utiliza de base o sistema de coordenadas plano-retangulares. Ou seja, considera apenas as coordenadas X e y dos pontos.

A NBR 14.166 trás a seguinte definição para coordenadas plano-retangulares:

Coordenadas cartesianas definidoras da localização planimétrica dos pontos medidos no terreno e representados no plano topográfico do sistema topográfico local, cuja origem está no ponto de tangência deste plano com a superfície de referência adotada pelo Sistema Geodésico Brasileiro – SGB. O mesmo baseia-se no cálculo da dupla área dos vértices formados pela poligonal.

No caso, o método de Gauss calcula a dupla área. Veja o detalhe na imagem abaixo:

método de Gauss - calcula da dupla área

Perceba que nós temos a área externa ao polígono e a área interna ao polígono.

Porém, o que nos interessa é apenas a área interna ao polígono. O método de Gauss através da utilização de uma matriz possibilita justamente o cálculo da área do nosso polígono.

Este é o método de cálculo de área mais difundido e utilizado, sendo que amplamente utilizado na topografia. Tanto que é o método de cálculo de área utilizado pelo AutoCAD.

Exemplo prático do cálculo da área pelo Método de Gauss

Vamos trazer um exemplo simples para facilitar o entendimento do que é e como que a área é calculada pelo método de Gauss. Olhe para a imagem abaixo:

área pelo método de gaus - área que o autocad utiliza

Perceba que os pontos possuem as seguintes coordenadas X e Y:

Ponto 1 – 100, 100;
Ponto 2 – 100, 200;
Ponto 3 – 200, 200;
Ponto 4 – 200,100.

No caso, as coordenadas normalmente são obtidas a campo com a utilização de estações totais e receptores GNSS. Também podem serem obtidas no AutoCAD a partir de uma imagem de drone ortorretificada.

Cálculo da dupla área pelo método de Gauss

Segue um passo a passo mostrando como calcular a dupla área pelo método de Gaus.

Etapa 1 – Crie uma planilha, na qual você colocar as coordenadas, repetindo as coordenadas do primeiro ponto.

multiplicação das coordenadas Etapa 2 – Multiplique as coordenadas X de cada vértice pela coordenada Y conforme é mostrado na imagem abaixo.

etapa 2 do cálculo da área

Etapa 3 – Some os valores encontrados. Com isso você terá um primeiro valor. Vamos chamar este valor de resultado do sentido 1.

primeira área

Perceba que o valor obtido é 80.000.

Etapa 4 – Faça as multiplicações das coordenadas no outro sentido, conforme é mostrado na imagem abaixo.

somatório dos valores do sentido 2

Etapa 5 – Faça o somatório dos valores obtidos. Vamos chamar este valor de resultado do sentido 2.

segundo valor Perceba que o resultado do somatório dos valores obtidos é 100.000.

Etapa 6 – Nesta etapa você fará o cálculo da dupla área. A mesma será o resultado do somatório do sentido 1 menos o somatório do sentido 2.

2S = ∑ _Sentido₁– ∑ _Sentido₂

No caso, o resultado encontrado pode ser um valor negativo. Porém, não existe área com valor negativo. Por causa disso, precisamos colocar o resultado encontrado em módulo. Com isso, o resultado final será positivo.

2S = |∑ _Sentido₁– ∑ _Sentido ₂ja|

Veja como fica o cálculo através da imagem abaixo:

Ou seja, a o valor da dupla área é de 20.000 m².

Etapa 7 – Cálculo da área.

Se dividirmos o valor em 2, termos obteremos a área do polígono.

No caso, 10.000 m².

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