Método de Gauss: aprenda a calcular área

Publicado por Adenilson Giovanini em

O método de Gauss baseia-se no cálculo da dupla área da poligonal. Vamos entender exatamente o que é este método e como que a área é calculada.

 

Funcionamento do método de Gauss

funcionamento do método de Gauss

O método de Gauss é método utilizado pelo AutoCAD para o cálculo da área. O mesmo utiliza de base o sistema de coordenadas plano-retangulares. Ou seja, considera apenas as coordenadas X e y dos pontos.

A NBR 14.166 trás a seguinte definição para coordenadas plano-retangulares:

Coordenadas cartesianas definidoras da localização planimétrica dos pontos medidos no terreno e representados no plano topográfico do sistema topográfico local, cuja origem está no ponto de tangência deste plano com a superfície de referência adotada pelo Sistema Geodésico Brasileiro – SGB. O mesmo baseia-se no cálculo da dupla área dos vértices formados pela poligonal.

No caso, o método de Gauss calcula a dupla área. Veja o detalhe na imagem abaixo:

método de Gauss - calcula da dupla área

Perceba que nós temos a área externa ao polígono e a área interna ao polígono.

Porém, o que nos interessa é apenas a área interna ao polígono. O método de Gauss através da utilização de uma matriz possibilita justamente o cálculo da área do nosso polígono.

Este é o método de cálculo de área mais difundido e utilizado, sendo que amplamente utilizado na topografia. Tanto que é o método de cálculo de área utilizado pelo AutoCAD.

 

Exemplo prático do cálculo da área pelo Método de Gauss

Vamos trazer um exemplo simples para facilitar o entendimento do que é e como que a área é calculada pelo método de Gauss. Olhe para a imagem abaixo:

área pelo método de gaus - área que o autocad utiliza

Perceba que os pontos possuem as seguintes coordenadas X e Y:

  • Ponto 1 – 100, 100;
  • Ponto 2 – 100, 200;
  • Ponto 3 – 200, 200;
  • Ponto 4 – 200,100.

No caso, as coordenadas normalmente são obtidas a campo com a utilização de estações totais e receptores GNSS. Também podem serem obtidas no AutoCAD a partir de uma imagem de drone ortorretificada.

 

Cálculo da dupla área pelo método de Gauss

Segue um passo a passo mostrando como calcular a dupla área pelo método de Gaus.

Etapa 1 – Crie uma planilha, na qual você colocar as coordenadas, repetindo as coordenadas do primeiro ponto.

multiplicação das coordenadasEtapa 2 – Multiplique as coordenadas X de cada vértice pela coordenada Y conforme é mostrado na imagem abaixo.

etapa 2 do cálculo da área

Etapa 3 – Some os valores encontrados. Com isso você terá um primeiro valor. Vamos chamar este valor de resultado do sentido 1.

primeira área

Perceba que o valor obtido é 80.000.

Etapa 4 – Faça as multiplicações das coordenadas no outro sentido, conforme é mostrado na imagem abaixo.

somatório dos valores do sentido 2

Etapa 5 – Faça o somatório dos valores obtidos. Vamos chamar este valor de resultado do sentido 2.

segundo valorPerceba que o resultado do somatório dos valores obtidos é 100.000.

Etapa 6 – Nesta etapa você fará o cálculo da dupla área. A mesma será o resultado do somatório do sentido 1 menos o somatório do sentido 2.

2S = ∑ Sentido 1 – ∑ Sentido 2

No caso, o resultado encontrado pode ser um valor negativo. Porém, não existe área com valor negativo. Por causa disso, precisamos colocar o resultado encontrado em módulo. Com isso, o resultado final será positivo.

2S = |∑ Sentido 1 – ∑ Sentido 2ja|

Veja como fica o cálculo através da imagem abaixo:

cálculo da área pelo método de Gauss

Ou seja, a o valor da dupla área é de 20.000 m².

Etapa 7 – Cálculo da área.

Se dividirmos o valor em 2, termos obteremos a área do polígono.

No caso, 10.000 m².

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Adenilson Giovanini

O Professor Adenilson Giovanini é especialista em Topografia Cadastral e Georreferenciamento de Imóveis Rurais. O mesmo possui o Maior Site de Engenharia de Agrimensura do Brasil. Site este que tem mais de 102.000 visualizações por mês. Também possui mais de 600 vídeos em seu canal no youtube. Além disso, é escritor Best Seller, possuindo vários cursos e livros de sucesso.